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[김향숙의 매스토피아] 음악으로 보는 수학

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수학과 음악은 깊은 관계가 있다. 역사적으로 그들은 상호보완적인 관계에서 발전해 왔다. 그렇다면 과연 어떤 관계가 있을까?

화음, 현의 길이, 진동 수, 비율 등의 용어에서 짐작할 수 있듯이 음악은 수(數)와 밀접하게 관련되어 있다. 수학과 음악의 관계를 처음 밝힌 사람은 수학자 피타고라스이다. 피타고라스는 어느 날 대장간 옆을 지나며 쇠 두드리는 소리를 들었다. 호기심이 많은 그는 그때 소리에 어떤 수학적 규칙이 있을 것이라고 생각하였다. 그는 여러 가지 실험을 하였고, 그 결과 모루 위에 있는 쇳덩이를 두드리는 망치 무게가 비례 관계에 있을 때 음정의 조화가 발생한다는 원리를 발견하였다. 무게가 1대 2인 비율을 이루는 망치들이 두드리는 소리는 8번째 음정의 소리(높은 도)를, 무게가 2대 3인 비율의 망치들은 5번째 음정의 소리(솔)를, 비율이 3대 4일 때는 4번째 음정(파)의 소리를 내었다. 이 세 가지 듣기 좋은 음정의 비율이 모두 숫자 1, 2, 3, 4에서 나온다.


음악은 수학과 상호보완적 관계

주기함수로 음색 조절하며 작곡

고유한 구조적 규칙성으로 유사


그는 협화음이라고 불리는 음계의 음정이 수 사이의 비율로써 표현할 수 있음도 알아냈다. 궁극적으로 우주는 코스모스(cosmos, 질서 있는 체계)이고, 인간이 우주(신)와 가까워지기 위해서는 우주의 구조적 원리를 이해해야 하고, 그러한 구조적 원리는 수학적 철학에 기본적 원리를 두고 있다고 피타고라스는 주장하였다.

피타고라스의 음계 이론 외에도 수학과 음악의 관계를 나타내는 이론적 요소는 많다. 예컨대 소리는 공기의 파동을 우리가 귀로 듣는 것이다. 그런데 소리를 눈으로 볼 수 있을까?

수학에서 점, 선, 면은 기하학적 도형을 만드는 기본적인 요소들이다. 그러면 음악에서 점과 선은 어떤 역할을 할까? 음악에서의 점들은 탬버린, 트라이앵글, 피아노 등 타악기의 연주를 위한 악보에 사용되며, 점의 크기는 소리의 세기로 표현된다. 상이한 현악기들이 내는 고유의 음조는 선의 굵기로 나타낼 수 있으며, 바이올린과 플롯은 가느다란 선, 비올라와 클라리넷은 좀 더 굵은 선, 콘트라베이스와 튜바는 굵은 선을 표현한다.

음악은 단순히 음들로만 구성되지 않는다. 박자와 리듬은 물론이거니와 음색도 무시할 수 없다. 소리는 파동의 움직임이므로 주기를 가지는 함수의 그래프는 파동을 그리며, 수학의 함수들은 음악을 연주해 낸다. 주기 함수의 진동수를 변화해서 소리의 높낮이를 만들고, 진폭의 변화로 소리의 세기를 조절하고, 함수의 연속성과 불연속성을 이용하여 음색을 조절해서 음악을 작곡할 수 있다. 또한 함수를 활용하여 작곡된 음악이 컴퓨터 프로그램을 활용하여 파동으로 나타나는 것을 눈으로 볼 수 있다. 더욱이 음악 작곡에 사용된 함수의 그래프 위의 점들을 좌표로 변환한 수학적 데이터는 음악이 수많은 데이터의 조합임을 보여준다. 이렇듯 음악의 핵심은 수학이고 수학의 응용이 음악이다.

또 다른 수학과 음악 사이 연결고리를 찾아보자. 수학에서 아름다움을 말할 때 자주 언급되는 용어가 황금비와 대칭이다. 자연에서는 물론이고 많은 예술 작품에서 황금비와 대칭은 자주 발견이 된다. 작곡가 바르토크는 음악 속의 음정 사이의 비율이 황금비를 이루는 피보나치 수열을 사용해서 ‘현 타악기 첼리스트를 위한 음악’을 작곡했다. 또한 헨델은 ‘할렐루야’의 음정 사이의 비율이 황금비를 이루도록 작곡하였다. 이렇듯 음악가들도 작곡에서 도돌이표를 사용한 반복의 대칭과 황금비를 나타내는 음정들을 곡의 중간에 사용하여 아름답고 조화로운 음을 내기 위해 노력하였다.

이러한 복잡한 수학적 이론 설명 없이도 우리 삶에 녹아 있는 일상적 요소 안에서 수학과 음악의 관계를 쉽게 엿볼 수 있다. 피아노 음에 맞추어 노래를 부르고, 박자에 맞춰 흥겹게 휘파람 소리를 내는 일상적인 행동 또한 음악이 결코 수학과 무관하지 않음을 보여준다. 음악 속의 수학 원리를 찾는 연구에 심취했던 수학자 플라톤, 피타고라스, 오일러, 라이프니츠, 실베스트, 리만 등은 음악의 수학적 이론 정립에 많은 기여를 하였다. 수학과 음악은 추상적인 표기법을 쓰고 있고, 고유한 구조적인 규칙들에 의해 지배된다는 유사성 때문에 많은 수학자들이 음악적 재능을 가지고 있음은 놀라운 사실이 아니다.

모든 생명체는 아름다움을 추구하며, 특히 인간은 사는 동안 아름다움과 행복을 갈구한다. 소리의 아름다움을 만들어내어 우리의 감정을 풍요롭게 하여 기쁨을 주는 음악과 이성을 자극하여 사유와 지식으로 과학적 원리 발견, 창조의 기쁨을 주는 수학은 우리에게 행복을 선사한다는 공통점을 갖는다.

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